Logikai algebra. 1. rész. Egy kis történelem

Az iskolában mindannyian algebrát tanultunk, de ott nem beszélték a logikai algebráról. Mi a különbség a logikai algebra és az iskolai algebra között, megjelenésének történetét, problémáit és alkalmazását ebben a cikkben ismertetjük.

Régóta ismert az az áramkör, amely lehetővé teszi, hogy két kapcsoló bekapcsolja a fényt a folyosón a folyosó bejáratánál, és kikapcsolja a helyiségbe való belépéskor (lásd. Folyosó világításvezérlő áramköre). Az 1. ábrán látható.

1. feladat. Bonyolultabb. Készítsen diagramot, amely lehetővé teszi a világítás be- és kikapcsolását a szobában a 3 különböző kapcsoló bármelyikével. A kapcsolók a szoba bejáratánál, az ágy felett és az íróasztalnál találhatók.

2. feladat.

Egy sportbizottságban, például gyári bizottságban 5 bíró gyűlt össze.

Mindegyiküknek különféle döntésekre kell szavaznia. A határozatot szavazati többséggel fogadják el, de csak azzal a feltétellel, hogy a bizottság elnöke szavazzon érte.

A bírók úgy szavaznak, hogy megnyomják a gombot, amely bezárja az asztal alatt található kapcsolót, amelyen ülnek. A kapcsoló lezárása mellett szavaznak, és megszakítják a hátrányokat. Rajzolj egy egyszerű diagramot, amely lehetővé teszi a szavazási eredmények automatikus megtekintését. A legegyszerűbb esetben egyszerűen csak egy kivilágított izzó segítségével - a döntést meghozták, nem világítottak - nem.

3. feladat. A gyakorlatban ez nem valószínű, de mivel egy komplex oktatási feladat nagyon megfelelő.

Egy hatszögletű helyiségben minden falra egy kapcsoló van felszerelve. Építsen meg egy áramkört úgy, hogy bármikor bekapcsolhatja vagy kikapcsolhatja a világítást a szobában egy (bármilyen) kapcsoló elforgatásával.

Miután három-négy napig sikertelenül ült a feladatokon, helyezze át őket ideiglenesen. És lefoglalni Logikai algebra. Ez a logikai algebra, vagy amint azt más néven hívják, Boolean algebra, relé áramkör algebra, segít megoldani a problémáit.

Mi az a logikai algebra?

Furcsa módon, annak ellenére, hogy öt éve az algebrát tanulják az iskolában, sok diák, később felnőtt nem képes válaszolni a kérdésre: mi az algebra? Az Algebra olyan tudomány, amely egyes elemek halmazát és az azokkal kapcsolatos tevékenységeket vizsgálja.

Az algebrai iskolai tanfolyamon ezek az elemek számok. A számokat nem számokkal, hanem betűkkel lehet megjelölni, ezt mindenki ismeri. Az algebra első óráiban ez sok tanulót mindig megnehezít. Ne feledje, milyen nehéz volt először hozzászokni számok helyett betűk hozzáadásához, olyan egyenletek megoldásához, amelyek nem mondnak semmit.

Valószínűleg mindegyikünk feltette magunknak a kérdést: "Miért kell betűket beírni számok helyett, és egyáltalán szükség van rá?" És csak később látta meg, hogy az algebra milyen előnyöket nyújt a problémák aritmetikához viszonyított megoldásakor.

Az algebrát sok pontos tudományban használják. Ez a fizika, a mechanika, a sopromat, az elektromosság. Ohm törvénye nincs más, mint egy algebrai egyenlet: elegendõ betûk helyett numerikus értékeik helyett betölteni, hogy megtudja, milyen áram folyik a terhelésben, vagy milyen ellenállással rendelkezik az áramkör egy szakasza.

Tehát megismerkedtél a számok algebrájával vagy az elemi algebrával. A fő és szinte egyedülálló feladat az, hogy választ kapjunk a következő kérdésre: „Mivel egyenlő az X? Mennyi?

A középiskolában a vektor algebra kezdeteit tanulmányozzák. Ez az algebra alapvetően különbözik az elemi algebrától. Különböző jellege van a vizsgált halmaznak és más cselekvési szabályoknak. A vektor-egyenlet megoldásakor a válaszba egy olyan vektort kapunk, amely nem egy rendes szám, és amely a „Mennyit?” Kérdésre válaszol.

A vektoralgebrai képletek sok tekintetben különböznek az elemi algebrai képletektől. Például az elemi algebrában és a vektor algebrában van egy addíciós művelet. De teljesen más módon hajtják végre.A számok összeadása egyáltalán nem azonos a vektorok hozzáadásával.

Vannak más algebrák is: lineáris algebra, struktúrák algebra, gyűrűk algebra, logika algebra vagy, ami ugyanaz, a logikai algebra. Valószínűleg nem hallotta a nevet az iskolai órákban. George Boole - de mindenki tudja tehetséges lánya, Ethel Voinich (1864 - 1960) nevét. Írta a "Gadfly" regényt, amely az olasz karbonisták jogainak harcáról szól.

George Bull Angliában született 1815. november 2-án. Egész életében matematika és fizika tanárként dolgozott az iskolában. Tanulóinak emlékezeteiből kitűnik, hogy Bul milyen nagy jelentőséget tulajdonított a hallgatók kreatív képességeinek fejlesztésének. Új anyag bemutatásával arra törekedett, hogy a hallgatói maguk is „fedezzék fel” bizonyos képleteket és törvényeket.

A tanárok elmondták a hallgatóknak a nehézségeket, amelyekkel a tudósok elkerülhetetlenül szembesültek az igazságkeresés során, és a tanár szerette megismételni egy keleti bölcsességet: még a perzsa trón sem képes annyira örömet okozni egy ember számára, mint a legkisebb tudományos felfedezés. Buhl soha nem veszítette el azt a reményét, hogy valaha a hallgatói valódi felfedezést hoznak.

Buhl tudományos érdeklődési köre nagyon széles volt: őt egyaránt érdekli a matematika és a logika - a törvények és a gondolkodás tudománya. Akkoriban a logikát humanitárius tudománynak tekintették, és sokan, akik George Boole-t ismerték, el voltak csodálkozva, hogy a matematikában rejlő pontos megismerési módszerek és a tisztán leíró logika módszerei egyidejűleg létezhetnek egy személyben.

A tudós azonban a törvények és a gondolkodás formáinak tudományát olyan szigorúvá akarta tenni, mint a természettudományok bármelyikét, mondjuk a matematikát és a fizikát. Ehhez Boule nem a számokat betűkként jelölte, mint ahogyan azt a szokásos algebraiban használják, hanem az állításokat, és megmutatta, hogy az algebrai egyenletekhez nagyon hasonló egyenletek meg tudják oldani az ember által tett állítások igazságával és hamisságával kapcsolatos kérdéseket. Így felmerült a logikai algebra.

De jóval azelőtt, hogy George Buhl, a német matematikus és filozófus, Gottfried Leibniz (1646-1716) először előállt egy olyan tudomány létrehozásának gondolatával, amely meghatározná a rendes közbeszéd minden fogalmát szimbólumokkal, és létrehozna néhány új algebrát e szimbólumok kombinálására.

Egy ilyen tudomány megteremtése után, Leibniz szerint, a tudósok és a filozófusok nem fognak vitatkozni és kiabálni, és kideríteni az igazságot, ám felveszik egy ceruzát, és nyugodtan mondják: „Számítsuk ki!”

Ma a logika algebrája a matematika fontos részévé vált. Az egyik feladata mindenféle egyenlet megoldása, amelyek numerikus arányait ábécé helyettesíti. Valószínűleg mindannyian egész életedben emlékeztél arra, hogyan lehet a második és a harmadik fokú egyenleteket betű együtthatóval megoldani. Tehát Boole az új algebrájában ezeket a képleteket és szabályokat alkalmazta.

A Boole-algebrai újdonsága az, hogy a halmaz elemei, amelyeket benne vizsgálnak, nem számok, hanem állítások. Ha a szokásos algebrai egyenletek megoldásakor meghatározzák, hogy mekkora szám felel meg az ismeretlen X-nek, akkor az iskolai algebra megválaszolja a következő kérdést: „Mennyit?”

A logika algebrai keresi a választ arra a kérdésre: „Igaz-e ezt vagy azt az állítást az X betű?”

Az állítás jelentése és tartalma itt nem játszik szerepet. Minden állítás csak igaz vagy hamis lehet. Nem lehet félig igaz és félig hamis. Példaként említhetjük a tételek érmékkel való dobását.

Csak két érmeállapotot tekintünk ott - fej vagy farok. A felek egyetértésével a sas IGEN, a farok NEM. A valószínűségi elméletben nem vesznek figyelembe más közbenső pontokat, bár ezek lehetséges. Egy lefordított érme leeshet egy szélére, le tud gördülni a padlón a szék vagy asztal lábaihoz, és függőleges helyzetben maradhat, vagy akár a padló széles résébe eshet. (Az elektromos áramkörökkel analóg módon az utóbbi két helyzetet meghibásodásnak lehet tekinteni égetett érintkező formájában).De akkoriban a logikai algebrát sajnos nem használták széles körben.

Claude Shannon újra felfedezte a Buhl algebrát. 1938-ban, még a Massachusetts Technológiai Intézet és az Amerika hallgatójaként, a fiatal Claude bebizonyította, hogy a logikai algebra teljesen alkalmas relé- és kapcsolóáramkörök elemzésére és szintézisére.

A logikai algebra segítségével nagyon egyszerű az elektromos áramkör elkészítése egy relén működő automata számára.Ehhez kiderül, hogy csak pontosan tudnia kell, mit kell tennie a gépen, vagyis rendelkeznie kell egy algoritmussal a működéséhez. Tehát megalapozták az IGEN vagy NEM elv alapján működő digitális gépek elméletét.

Ilyen röviden: a logikai algebra története. A következő cikkekben megvizsgáljuk annak alapvető törvényeit, az ezeket a törvényeket végrehajtó érintkező áramkörök példáit. Fontolja meg a cikk elején megadott feladatok megoldását.

A cikk folytatása: Logikai algebra. 2. rész. Alapvető törvények és funkciók

Boris Aladyshkin